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臺大電機系師生的「機率創意遊戲」，首度精華呈現！
BJ4online
難度：★★★
解題提示：解題者必須了解均勻分布的意義、期望值的觀念，並且能接受並運用數學上的對稱性。若能了解捲積以及隨機變數相加的概念，將可從不同角度了解題目（不過並非必要）。
原作者：謝瑞賢、吳冠融、黃大珉
某個悠閒的午後，阿賢打開網路射擊遊戲「BJ4Online」想好好放鬆一下。
才登入遊戲，就發現官方送了一筆虛擬金幣，於是，他想用這筆錢來強化自己的軍備。研究遊戲網站中所有關於裝備的評價文章之後，發現有一把名為「貝里尼M1」的霰彈槍。
以半自動霰彈槍來說相當輕便，連射性能也算相當出眾。槍身較短，便於攜帶，因此許多軍隊都採用這款槍枝。然而，雖然可以在近距離內發揮強大威力，但隨著距離拉遠，威力會迅速減弱，這是它的缺點。
阿賢看過說明文字後，覺得自己應該很適合這把槍，於是開啟練習模式準備試用。
試用後他發現，這把霰彈槍的殺傷力確實會隨距離減弱，當槍口距離敵人d時，子彈殺傷力會於40–d至50–d區間內呈均勻分布。
「那就來玩玩看吧！」
阿賢買下這把槍，進入實戰，他輕巧地穿梭著，很快便發現了目標。此時他距目標35/3單位，不過對方並沒有發現他。在這種狀況下，阿賢準確地朝對手連開三槍。
在遊戲中中，當玩家受到的傷害值到達一百單位，生命值便會歸零。
「會死嗎？會死嗎？」
剛考完機率期末考，阿賢大腦裡那些靠熬夜記下來的機率計算迴路還沒消失，他下意識開始進行高速計算，光靠這三槍就能解決對方的機率是多少。
「每次手槍所造成的傷害可視為獨立事件，總傷害分布應由各次傷害的機率密度函數進行三次旋積。單次傷害呈均勻分布，兩個均勻分布的機率密度函數旋積後，呈三角形分布，再旋積一次後，得到的機率密度函數則呈拋物線形，再將『總傷害大於一百』區域內的機率積分，即可得出答案……嗯，等等。」
不只要解出答案，還要用優雅的解法，才算真正懂機率。阿賢重新思考了一下，發現問題沒這麼複雜。
把數字代進去的話，在距離35/3處所造成的傷害，在85/3至115/3間呈均勻分布。但是仔細一想，會發現其對稱於單次傷害的期望值是100/3。換句話說，對於任意的x，單次造成的傷害是100/3＋x和100/3–x的機率是相等的。而阿賢所做的，是把這個過程重複三次；就像把均衡的骰子丟個幾次取點數和，結果仍然是均衡的，即便是考慮三次射擊造成的傷害，依舊沒有任何因素使得期望值以上和以下的機率不同；因此，由於機率分布對稱於100，自然有一半的機率可以使傷害能超過一百，換言之，殺傷率為50%。
若由旋積的角度來看這個問題，將均勻分布的機率密度函數進行旋積後，得到的機率密度函數依然有對稱性，將三個均勻分布的機率密度函數旋積後，便對稱於三倍的原期望值，也就是一百。
連紙筆都不用，就可以輕鬆地算出結果。阿賢對還沒公佈的期末考結果感到安心。
「不過，老實說，誰管他概率是多少。」阿賢聳聳肩，又補上好幾槍，沒有任何妥協，愉快地送對手上路。
這就是人蔘……不，是人生。
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本文摘自究竟出版《葉丙成的機率驚豔：當數學遇上文學，學生考不好也會笑著離開》
